Deterministic&Stochastic Models

ある集団が均質な集団(総数：N)において
時刻tのときに，，
感染者(y)と感受性者(x)の時間変化（y(t), x(t)）は，x(t) + y(t) = Nが成立しているなら
初期条件：( x(t=0), y(t=0) ) = ( x₀, y₀ )
感染確率：b
として，感染速度(eq.1)(eq.2)が成立する．

　　eq.1

　eq.2

　このとき，新規の感染者発生の時間変化を疫学曲線(Epidemic Curve)(Fig.1)という．↑

(Fig.1)

複数の集団からなる感染伝播の記述では，図(Fig.2)のような構成となり，同様の方程式(eq.3)が成立する．

(Fig.2)

　　eq.3

このときも，同様の疫学曲線(Fig.3)が得られる．但し，集団間の感染確率(k)は図中に記載した通りである．

(Fig.3)

確率論的模型では，家庭，学校等，比較的小規模の集団での感染伝播について取り扱われる．
集団が閉鎖系であると，

X(t) + Y(t) = N + I (all t≧0) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (eq.4)

時刻tでの感受性者X(t)と感染者Y(t)が，(X,Y)(0) = (N, I) ( I ≧ 1)という初期条件等は決定論的模型の時と同じである。
確率論模型では，{(X,Y)(0): t ≧ 0}が連続時間における均質Markov連鎖(homogeneous Markov chain)で，(eq.4)式とN≧X(t)≧0を満たす正整数の状態空間を形成する．
唯一のゼロでない遷移確率(transition probability)は 0 ≦ i ≦ N，j = N + I + i のき生起し，その確率は，

Pr{(X,Y)(t + dt) = (i - 1, j + 1) | (X,Y)(t) = (i, j)} = b_ijdt + o(dt) 　　　 (eq.5)
Pr{(X,Y)(t + dt) = (i, j) | (X,Y)(t) = (i, j)} = 1 - b_ijdt + o(dt)

ここに，(X,Y)(t) = (0, N + I)という吸収状態(absorbing state)を満たし，b > 0は接触対毎の感染確率である。
このようなMarkov連鎖は，N ≧ X(t) ≧0 あるいは，I ≦ Y(t) ≦ N + I を満たす一次元の状態空間上にある。
前者の N ≧ X(t) ≧ 0は「死亡過程」であり，後者の I ≦ Y(t) ≦ N + I は「出生過程」に対応する。

(Fig.4)

このときの，

(eq.5)

T_i の期待値（E[T_i ]）は，E[T_i ] = 1/[b_i(N + I - i)] のべき係数をもつ指数関数的に分布する関数である．

　(eq.5)